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In mwcageometria la mwcqcardioide è una mwcgcurva e più precisamente una mwcwepicicloide con una e una sola mwdacuspide. Essa è quindi una curva che si può ottenere tracciando il percorso di un punto scelto su una mwdqcirconferenza che viene fatta rotolare senza scivolamenti intorno ad un'altra circonferenza di raggio uguale e mantenuta fissa. La cardioide può anche essere vista come un caso particolare di mwdglimaçon.

Il suo nome esprime la sua forma di un cuore stilizzato e deriva dal greco mweakardioeides = mweqkardia (cuore) + mwegeidos (forma).

• Equazioni

• Dimostrazione

• Quantità geometriche

• Lunghezza

• Area

• Baricentro

• Cardioide di rotazione

• Volume

• Altre proprietà

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

La cardioide, dato che è una mwggepicicloide con una cuspide, è individuata dalle seguenti equazioni parametriche in cui la lunghezza del raggio di entrambi i cerchi è uguale a mwgw r {\displaystyle r} :

mwhg x ( θ θ ) = r ( 1 − − 2 cos ⁡ ⁡ θ θ + cos ⁡ ⁡ 2 θ θ ) , ( 1 ) {\displaystyle x(\theta )=r(1-2\cos \theta +\cos 2\theta ),\qquad \qquad (1)}

mwia y ( θ θ ) = r ( 2 sin ⁡ ⁡ θ θ − − sin ⁡ ⁡ 2 θ θ ) . ( 2 ) {\displaystyle y(\theta )=r(2\sin \theta -\sin 2\theta ).\qquad \qquad (2)}

Questa curva viene individuata anche dall'equazione in coordinate polari

mwja ρ ρ = 2 r ( 1 − − cos ⁡ ⁡ θ θ ) . {\displaystyle \rho =2r(1-\cos \theta ).}

Nelle formule successive si porrà il raggio uguale a mwjg r = 1 2 . {\displaystyle r={1 \over 2}.}

In particolare le sopracitate equazioni parametriche descrivono una epicicloide che ha la cuspide nell'origine e che si sviluppa verso destra.

La coordinata polare radiale mwkg ρ ρ ( θ θ ) {\displaystyle \,\rho (\theta )} è data damwkw :mwla ρ ρ ( θ θ ) = x 2 ( θ θ ) + y 2 ( θ θ ) {\displaystyle \rho (\theta )={\sqrt {x^{2}(\theta )+y^{2}(\theta )}}}

mwlwmwmamwmq = ( 1 2 − − cos ⁡ ⁡ θ θ + 1 2 cos ⁡ ⁡ 2 θ θ ) 2 + ( sin ⁡ ⁡ θ θ − − 1 2 sin ⁡ ⁡ 2 θ θ ) 2 . {\displaystyle ={\sqrt {\left({1 \over 2}-\cos \theta +{1 \over 2}\cos 2\theta \right)^{2}+\left(\sin \theta -{1 \over 2}\sin 2\theta \right)^{2}}}.}

Sviluppando

mwnq ρ ρ = 1 4 + cos 2 ⁡ ⁡ θ θ + 1 4 cos 2 ⁡ ⁡ 2 θ θ − − cos ⁡ ⁡ θ θ + 1 2 cos ⁡ ⁡ 2 θ θ − − cos ⁡ ⁡ θ θ cos ⁡ ⁡ 2 θ θ + sin 2 ⁡ ⁡ θ θ + 1 4 sin 2 ⁡ ⁡ 2 θ θ − − sin ⁡ ⁡ θ θ sin ⁡ ⁡ 2 θ θ {\displaystyle \rho ={\sqrt {{1 \over 4}+\cos ^{2}\theta +{1 \over 4}\cos ^{2}2\theta -\cos \theta +{1 \over 2}\cos 2\theta -\cos \theta \cos 2\theta +\sin ^{2}\theta +{1 \over 4}\sin ^{2}2\theta -\sin \theta \sin 2\theta }}} .

Ora si può semplificare osservando che

mwoq cos 2 ⁡ ⁡ θ θ + sin 2 ⁡ ⁡ θ θ = 1 , (id. trigonometrica) {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1,\qquad \qquad {\mbox{(id. trigonometrica)}}}

mwow 1 4 cos 2 ⁡ ⁡ 2 θ θ + 1 4 sin 2 ⁡ ⁡ 2 θ θ = 1 4 , (come sopra) {\displaystyle {1 \over 4}\cos ^{2}2\theta +{1 \over 4}\sin ^{2}2\theta ={1 \over 4},\qquad \qquad {\mbox{(come sopra)}}}

mwpq cos ⁡ ⁡ θ θ cos ⁡ ⁡ 2 θ θ + sin ⁡ ⁡ θ θ sin ⁡ ⁡ 2 θ θ = cos ⁡ ⁡ ( θ θ − − 2 θ θ ) = cos − − θ θ = cos ⁡ ⁡ θ θ . {\displaystyle \cos \theta \cos 2\theta +\sin \theta \sin 2\theta =\cos(\theta -2\theta )=\cos -\theta =\cos \theta .\ }

Quindi

mwqq ρ ρ = 1 4 + 1 + 1 4 − − 2 cos ⁡ ⁡ θ θ + 1 2 cos ⁡ ⁡ 2 θ θ {\displaystyle \rho ={\sqrt {{1 \over 4}+1+{1 \over 4}-2\cos \theta +{1 \over 2}\cos 2\theta }}} mwqgmwqwmwra = 3 2 − − 4 2 cos ⁡ ⁡ θ θ + 1 2 cos ⁡ ⁡ 2 θ θ {\displaystyle ={\sqrt {{3 \over 2}-{4 \over 2}\cos \theta +{1 \over 2}\cos 2\theta }}} mwrqmwrg = 3 − − 4 cos ⁡ ⁡ θ θ + cos ⁡ ⁡ 2 θ θ 2 . {\displaystyle ={\sqrt {3-4\cos \theta +\cos 2\theta \over 2}}.}

A questo punto, grazie all'identità trigonometrica

mwsg cos ⁡ ⁡ 2 θ θ = cos 2 ⁡ ⁡ θ θ − − sin 2 ⁡ ⁡ θ θ = 2 cos 2 ⁡ ⁡ θ θ − − 1 , {\displaystyle \cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1,\qquad } ,

segue che

mwtg ρ ρ = 3 − − 4 cos ⁡ ⁡ θ θ + 2 cos 2 ⁡ ⁡ θ θ − − 1 2 = 2 − − 4 cos ⁡ ⁡ θ θ + 2 cos 2 ⁡ ⁡ θ θ 2 , {\displaystyle \rho ={\sqrt {3-4\cos \theta +2\cos ^{2}\theta -1 \over 2}}={\sqrt {2-4\cos \theta +2\cos ^{2}\theta \over 2}},}

mwua ρ ρ = 1 − − 2 cos ⁡ ⁡ θ θ + cos 2 ⁡ ⁡ θ θ = 1 − − cos ⁡ ⁡ θ θ , {\displaystyle \rho ={\sqrt {1-2\cos \theta +\cos ^{2}\theta }}=1-\cos \theta ,}

mwugQED.

== Grafici == [[File:CardioidsLabeled.PNG]] :''Quattro grafici di cardioidi orientate nelle quattro [[direzioni cardinali]] con le rispettive equazioni polari.''

Di seguito, alcuni valori geometrici che caratterizzano la cardioide.

Usando l'equazione polare della cardioide, ogni punto che appartiene alla curva ha coordinate:

mwww x ( θ θ ) = ρ ρ ( θ θ ) cos ⁡ ⁡ ( θ θ ) {\displaystyle x(\theta )=\rho (\theta )\cos(\theta )}

mwxq y ( θ θ ) = ρ ρ ( θ θ ) sin ⁡ ⁡ ( θ θ ) {\displaystyle y(\theta )=\rho (\theta )\sin(\theta )}

La lunghezza della cardioide è quindi calcolabile con:

mwyq ∫ ∫ | | γ γ ˙ ˙ ( θ θ ) | | d θ θ = ∫ ∫ 0 2 π π x ˙ ˙ 2 + y ˙ ˙ 2 d θ θ {\displaystyle \int ||{\dot {\gamma }}(\theta )||d\theta =\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}d\theta }

Inserendo le equazioni nell'integrale e ricordando le mwywformule di bisezione si ottiene:

mwzg 2 ∫ ∫ 0 2 π π 1 + c o s θ θ d θ θ = 2 ∫ ∫ 0 2 π π | cos ⁡ ⁡ θ θ 2 | d θ θ = 8 [ sin ⁡ ⁡ θ θ 2 ] 0 π π = 8 {\displaystyle {\sqrt {2}}\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {1+cos\theta }}d\theta =2\int _{0}^{2\pi }\left|\cos {\frac {\theta }{2}}\right|d\theta =8\left[\sin {\frac {\theta }{2}}\right]_{0}^{\pi }=8}

La lunghezza della cardioide è quindi pari ad mwaa 8 {\displaystyle 8} .

L'area della cardioide si può calcolare direttamente in coordinate polari, ricordando:

mwbq ∫ ∫ d x d y = ∫ ∫ ρ ρ d ρ ρ d θ θ {\displaystyle \int dxdy=\int \rho d\rho d\theta }

Si ha allora:

mwcq 1 2 ∫ ∫ 0 2 π π ρ ρ 2 d θ θ = 1 2 ∫ ∫ 0 2 π π ( 1 − − c o s θ θ ) 2 d θ θ = 3 2 π π {\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\rho ^{2}d\theta ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(1-cos\theta )^{2}d\theta ={\frac {3}{2}}\pi }

L'area della cardioide è mwcw 3 2 π π {\displaystyle {\frac {3}{2}}\pi }

Se si considera un diametro diverso da quello unitario, la formula generale per il calcolo dell'area è:

mwdw A = 6 π π r 2 {\displaystyle A=6\pi r^{2}}

ovvero 6 volte l'area dei cerchi di riferimento.

Il baricentro di una cardioide uniforme ha, per ragioni di simmetria, ordinata nulla. Per l'ascissa:

mwfq A x G = ∫ ∫ x d x d y {\displaystyle Ax_{G}=\int xdxdy}

Dove mwfw A {\displaystyle A} è l'area della cardioide. In coordinate polari si ha quindi:

mwgg ∫ ∫ ρ ρ 2 cos ⁡ ⁡ θ θ d ρ ρ d θ θ = 1 3 ∫ ∫ 0 2 π π ρ ρ 3 cos ⁡ ⁡ θ θ d θ θ {\displaystyle \int \rho ^{2}\cos \theta d\rho d\theta ={\frac {1}{3}}\int _{0}^{2\pi }\rho ^{3}\cos \theta d\theta }

Attraverso semplici passaggi, tale quantità risulta mwha − − 15 12 π π {\displaystyle -{\frac {15}{12}}\pi } . Da cui si ricava mwhq x G = − − 5 6 {\displaystyle x_{G}=-{\frac {5}{6}}} .

Il baricentro della cardioide ha quindi coordinate mwhw ( x G ; y G ) = ( − − 5 6 ; 0 ) {\displaystyle (x_{G};y_{G})=\left(-{\frac {5}{6}};0\right)} .

Si supponga di far ruotare la cardioide attorno al suo asse di simmetria. Siano le ascisse tale asse. Per coerenza con le definizioni delle mwigcoordinate sferiche, si consideri di far ruotare attorno all'asse soltanto la porzione di cardiode con ordinate positive. Tale richiesta equivale a imporre che l'angolo latitudinale mwiw θ θ {\displaystyle \theta } vari tra mwja 0 {\displaystyle 0} e mwjq π π {\displaystyle \pi } .

Integrando in coordinate sferiche, si ha:

mwkg ∫ ∫ d x d y d z = ∫ ∫ ρ ρ 2 sin ⁡ ⁡ θ θ d θ θ d ρ ρ d ϕ ϕ {\displaystyle \int dxdydz=\int \rho ^{2}\sin \theta d\theta d\rho d\phi }

Dove mwla ϕ ϕ {\displaystyle \phi } è l'angolo longitudine che misura l'ampiezza della rotazione. Se la rotazione è completa, mwlq ϕ ϕ {\displaystyle \phi } varia tra mwlg 0 {\displaystyle 0} e mwlw 2 π π {\displaystyle 2\pi } . Si supponga di far ruotare la cardioide attorno al suo asse di un angolo mwma α α {\displaystyle \alpha } . Si ha:

mwmw ∫ ∫ ρ ρ 2 sin ⁡ ⁡ θ θ d θ θ d ρ ρ d ϕ ϕ = α α 1 3 ∫ ∫ 0 π π ρ ρ 3 sin ⁡ ⁡ θ θ d θ θ {\displaystyle \int \rho ^{2}\sin \theta d\theta d\rho d\phi =\alpha {\frac {1}{3}}\int _{0}^{\pi }\rho ^{3}\sin \theta d\theta }

Attraverso semplici passaggi, tale quantità risulta pari a mwnq α α 4 3 {\displaystyle \alpha {\frac {4}{3}}} . Se la rotazione è completa, si ha quindi che il volume del mwngsolido di rotazione che si ottiene vale mwnw 8 3 π π {\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi } .

La cardioide può considerarsi come una particolare mwogchiocciola di Pascal, l'unica dotata di una cuspide.

La cardioide risulta anche essere una trasformata inversa di una mwpqparabola.

La estesa figura centrale nera di un mwpwinsieme di Mandelbrot è una cardioide. Tale cardioide è circondata da una configurazione mwqafrattale di cerchi.

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su cardioide

• mwrq(EN) Hearty Munching on Cardioids, su cut-the-knot.org.

• citerefenciclopedia-della-matematicaCardioide, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Cardioid, su MathWorld, Wolfram Research.